Zadania o dwóch pociągach – jednym jadącym z miasta A do miasta B oraz drugim jadącym z miasta B do miasta A – straszyły już naszych dziadków. Kolejne pokolenia autorów tworzą najróżniejsze warianty tych zadań, często zmieniając pojazdy na auta, samoloty czy statki. I wydaje się, że wszystko tutaj zostało już wymyślone. Tymczasem…

Wśród masy typowych zadań „pociągowych” z matematyki i fizyki pojawiają się jednak zadania nietypowe, w których trzeba się wykazać tym, co w matematyce najważniejsze, czyli umiejętnością logicznego myślenia. W tym artykule zaprezentuję państwu kilka takich perełek. Czytelników zachęcam do tego, by przed przeczytaniem proponowanych odpowiedzi samodzielnie spróbowali rozwiązać dany problem.
Na początku zadanie, które – rozwiązywane schematycznie – doprowadza nas do bardzo skomplikowanych rachunków.

Zadanie nr 1

Miasta A i B są oddalone od siebie o 300 km. W tym samym momencie, w którym z miasta A do miasta B wyrusza pociąg pośpieszny, z miasta B do miasta A wyrusza pociąg osobowy oraz z miasta B wylatuje samolot. Pociąg pośpieszny jedzie z prędkością 100 km/h, pociąg osobowy z prędkością 50 km/h, natomiast samolot leci z prędkością 400 km/h. Samolot lata w następujący sposób: na początek w kierunku pociągu pośpiesznego, w momencie spotkania zawraca w kierunku pociągu osobowego, po spotkaniu pociągu osobowego zawraca w kierunku pociągu pośpiesznego i tak na zmianę do momentu spotkania obu pociągów. Ile kilometrów przeleci samolot do momentu spotkania pociągów?

Rozwiązanie

W celu prostego rozwiązania tego zadania należy spojrzeć na nie w sposób trochę niekonwencjonalny. Na początku zauważmy, że samolot lata ze stałą prędkością dopóki nie dojdzie do spotkania pociągów i trasa, jaką pokonuje, nie ma tutaj znaczenia. Dwa pociągi zbliżają się do siebie z prędkością będącą sumą prędkości jednostkowych, czyli z prędkością 150 km/h. Ponieważ miasta A i B są oddalone od siebie o 300 km, do spotkania pociągów dojdzie po 2 godzinach. W takiej sytuacji samolot również latał 2 godziny, czyli musiał przebyć odległość 800 km, która stanowi odpowiedź na nasze zadanie.

Drugi z przedstawionych problemów jest przykładem sytuacji pozornie zbyt małej ilości danych, potrzebnych do rozwiązania.

Zadanie nr 2

Miasta A i B są położone nad tą samą rzeką, przy czym miasto B bliżej jej ujścia do morza. Motorówka płynie z miasta A do miasta B 2 dni, natomiast z miasta B do miasta A już 3 dni. Ile dni będzie trwał spływ tratwy z miasta A do miasta B?

Rozwiązanie

W zadaniu nie mamy podanych ani prędkości motorówki i rzeki, ani odległości pomiędzy miastami. W tej sytuacji do treści zadania wprowadzimy je sobie jako niewiadome: X – odległość pomiędzy miastami A i B, vm – prędkość motorówki, vr – prędkość rzeki. Z treści zadania dostajemy następujące dwa równania: 1) 2 (vm + vr) = X 2) 3 (vm + vr) = X Równania te wynikają z faktu, że prędkość ruchu z prądem rzeki jest sumą prędkości, a pod prąd różnicą. Jeśli porównamy ze sobą równania 1) i 2), to dostaniemy zależność, 2 (vm + vr) = 3 (vm + vr), skąd w prosty sposób (przenosząc odpowiednio niewiadome na jedną stronę równania) otrzymujemy zależność vm = 5vr. Stwierdzamy więc, że prędkość motorówki jest pięć razy większa od prędkości rzeki. Jeśli tę zależność wykorzystamy w równaniu 1), to otrzymamy równość 2 (5vr + vr) = X i ostatecznie 12vr = X. Tak więc tratwa bez własnego napędu będzie płynąć z miasta A do miasta B 12 dni.

Na zakończenie zadanie żartobliwe.

Zadanie nr 3

Jesteś maszynistą pociągu jadącego z miasta A do miasta B. Odległość pomiędzy tymi miastami wynosi 342 km. Pociąg wyjeżdża z miasta A o godzinie 14.00. Na odcinku od 127 km do 221 km, z powodu złego stanu torowiska, maksymalna prędkość wynosi 60 km/h. W czasie podróży łączny czas postojów na przystankach jest równy 42 minuty. Ile lat ma maszynista pociągu?

Rozwiązanie

Wiek maszynisty jest równy wiekowi czytelnika, co wynika z początku treści zadania: „Jesteś maszynistą pociągu”.

dr Krzysztof DŁUTEK nauczyciel i wykładowca Instytutu Studiów Podyplomowych, kierunek matematyka

Leave a Reply